Vyřešit ∫ (from -1 to 2) of v^2-vdv

$$\int_{ -1 }^{ 2 } { v }^{ 2 } -v d v$$

Vyhodnotit

$$\frac{3}{2}=1,5$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int v^{2}-v\mathrm{d}v$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int v^{2}\mathrm{d}v+\int -v\mathrm{d}v$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int v^{2}\mathrm{d}v-\int v\mathrm{d}v$$

Vzhledem k tomu, že \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int v^{2}\mathrm{d}v \frac{v^{3}}{3}.

$$\frac{v^{3}}{3}-\int v\mathrm{d}v$$

Vzhledem k tomu, že \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int v\mathrm{d}v \frac{v^{2}}{2}. Vynásobte číslo -1 číslem \frac{v^{2}}{2}.

$$\frac{v^{3}}{3}-\frac{v^{2}}{2}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{2^{3}}{3}-\frac{2^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{3}{2}$$