Vyřešit ∫ 2x(x^2+1) wrt x

$$\int{ 2x( { x }^{ 2 } +1) }d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x číslem x^{2}+1.

$$\int 2x^{3}+2x\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 2 číslem \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 2 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}+x^{2}$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

Derivovat vzhledem k x

$$2x\left(x^{2}+1\right)$$