Vyřešit ∫ y(1-y) wrt y

$$\int y ( 1 - y ) d y$$

Vyhodnotit

$$-\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+С$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo y číslem 1-y.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Vzhledem k tomu, že \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int y\mathrm{d}y \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Vzhledem k tomu, že \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int y^{2}\mathrm{d}y \frac{y^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslem \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Pokud F\left(y\right) je f\left(y\right), je sada všech antiderivátů f\left(y\right) uvedena v F\left(y\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}+С$$

Derivovat vzhledem k y

$$y\left(1-y\right)$$