Vyřešit ∫ x(2+x)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ) ^ { 2 } d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+С$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(2+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int x\left(4+4x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x číslem 4+4x+x^{2}.

$$\int 4x+4x^{2}+x^{3}\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 4 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 4 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{2}+\frac{4x^{3}}{3}+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{2}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+С$$

Derivovat vzhledem k x

$$x\left(x+2\right)^{2}$$