Vyřešit ∫ t^2(t^3-4)^2dt

$$\int t ^ { 2 } ( t ^ { 3 } - 4 ) ^ { 2 } d t$$

Vyhodnotit

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{16t^{3}}{3}+С$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(t^{3}-4\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\int t^{2}\left(\left(t^{3}\right)^{2}-8t^{3}+16\right)\mathrm{d}t$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 3 a 2 získáte 6.

$$\int t^{2}\left(t^{6}-8t^{3}+16\right)\mathrm{d}t$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo t^{2} číslem t^{6}-8t^{3}+16.

$$\int t^{8}-8t^{5}+16t^{2}\mathrm{d}t$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int t^{8}\mathrm{d}t+\int -8t^{5}\mathrm{d}t+\int 16t^{2}\mathrm{d}t$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int t^{8}\mathrm{d}t-8\int t^{5}\mathrm{d}t+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

Vzhledem k tomu, že \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int t^{8}\mathrm{d}t \frac{t^{9}}{9}.

$$\frac{t^{9}}{9}-8\int t^{5}\mathrm{d}t+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

Vzhledem k tomu, že \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int t^{5}\mathrm{d}t \frac{t^{6}}{6}. Vynásobte číslo -8 číslem \frac{t^{6}}{6}.

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

Vzhledem k tomu, že \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}. Vynásobte číslo 16 číslem \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{16t^{3}}{3}$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{16t^{3}}{3}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{t^{9}}{9}$$

Pokud F\left(t\right) je f\left(t\right), je sada všech antiderivátů f\left(t\right) uvedena v F\left(t\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$\frac{16t^{3}}{3}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{t^{9}}{9}+С$$

Derivovat vzhledem k t

$$\left(t\left(t^{3}-4\right)\right)^{2}$$