Vyřešit ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo \sqrt{x}+1 číslem \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Výpočtem \sqrt{x} na 2 získáte x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Zapište \sqrt{x} jako: x^{\frac{1}{2}}. Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Proveďte zjednodušení.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{271}{6}$$