Vyřešit ∫ (from 3 to 4) of -x^2+7x-12

$$\int _ { 3 } ^ { 4 } - x ^ { 2 } + 7 x - 12$$

Vyhodnotit

$$\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int -x^{2}+7x-12\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 7x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+7\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+7\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 7 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}+\int -12\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál -12 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}-12x$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$-\frac{4^{3}}{3}+\frac{7}{2}\times 4^{2}-12\times 4-\left(-\frac{3^{3}}{3}+\frac{7}{2}\times 3^{2}-12\times 3\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{1}{6}$$