Vyřešit ∫ (from 2 to 5) of 5/sqrt{x wrt x

$$\int _ { 2 } ^ { 5 } \frac { 5 } { \sqrt { x } } d x$$

Vyhodnotit

$$10\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\approx 8,218544151$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int \frac{5}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Vytkněte konstantu pomocí \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$5\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Zapište \frac{1}{\sqrt{x}} jako: x^{-\frac{1}{2}}. Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Zjednodušte a převeďte exponenciální tvar na tvar odmocniny.

$$10\sqrt{x}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$10\times 5^{\frac{1}{2}}-10\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$10\sqrt{5}-10\sqrt{2}$$