Vyřešit ∫ (from 1 to 3) of 3x^2+2x+1 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } 3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 d x$$

Vyhodnotit

$$36$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 3x^{2}+2x+1\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$3\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 3 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 2 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{3}+x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 1 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$x^{3}+x^{2}+x$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$3^{3}+3^{2}+3-\left(1^{3}+1^{2}+1\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$36$$