Vyřešit ∫ (from 0 to 4) of x^3+x^2+x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x$$

Vyhodnotit

$$\frac{280}{3}\approx 93,333333333$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{3}+x^{2}+x\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{4^{4}}{4}+\frac{4^{3}}{3}+\frac{4^{2}}{2}-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{0^{3}}{3}+\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{280}{3}$$