Vyřešit ∫ (from 0 to 3) of (x^2-2x-1) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } ( x ^ { 2 } - 2 x - 1 ) d x$$

Vyhodnotit

$$-3$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{2}-2x-1\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -2 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\int -1\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál -1 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-x$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-3-\left(\frac{0^{3}}{3}-0^{2}-0\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$-3$$