Vyřešit ∫ (from 0 to 2) of x(3+2x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } x ( 3 + 2 x ) d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{34}{3}\approx 11,333333333$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x číslem 3+2x.

$$\int _{0}^{2}3x+2x^{2}\mathrm{d}x$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 3x+2x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 3x\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$3\int x\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 3 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+2\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 2 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{3}{2}\times 2^{2}+\frac{2}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{3}{2}\times 0^{2}+\frac{2}{3}\times 0^{3}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{34}{3}$$