Vyřešit ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Vyhodnotit

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Vzhledem k tomu, že \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int r\mathrm{d}r \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Vzhledem k tomu, že \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int r^{2}\mathrm{d}r \frac{r^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslem \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Derivovat vzhledem k x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$