Vyřešit ∫ (from 0 to 1) of 5u^5+3u^2+udu

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 5 u ^ { 5 } + 3 u ^ { 2 } + u d u$$

Vyhodnotit

$$\frac{7}{3}\approx 2,333333333$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 5u^{5}+3u^{2}+u\mathrm{d}u$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 5u^{5}\mathrm{d}u+\int 3u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$5\int u^{5}\mathrm{d}u+3\int u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Vzhledem k tomu, že \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int u^{5}\mathrm{d}u \frac{u^{6}}{6}. Vynásobte číslo 5 číslem \frac{u^{6}}{6}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+3\int u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Vzhledem k tomu, že \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int u^{2}\mathrm{d}u \frac{u^{3}}{3}. Vynásobte číslo 3 číslem \frac{u^{3}}{3}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+u^{3}+\int u\mathrm{d}u$$

Vzhledem k tomu, že \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int u\mathrm{d}u \frac{u^{2}}{2}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+u^{3}+\frac{u^{2}}{2}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{5}{6}\times 1^{6}+1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{5}{6}\times 0^{6}+0^{3}+\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{7}{3}$$