Vyřešit ∫ (from 0 to 1) of 2^x+x^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 2 ^ { x } + x ^ { 2 } d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{3}\approx 1,776028374$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 2^{x}+x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 2^{x}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Chcete-li získat výsledek, použijte \int x^{k}\mathrm{d}k=\frac{x^{k}}{\ln(x)} ze seznamu společných integrálů.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\frac{x^{3}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$2^{1}\ln(2)^{-1}+\frac{1^{3}}{3}-\left(2^{0}\ln(2)^{-1}+\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{\ln(2)}$$