Vyřešit ∫ (from 0 to 1) of (x-1)^2

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Vyhodnotit

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\int _{0}^{1}x^{2}-2x+1\mathrm{d}x$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{2}-2x+1\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -2 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 1 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{1^{3}}{3}-1^{2}+1-\left(\frac{0^{3}}{3}-0^{2}+0\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{1}{3}$$