Vyřešit ∫ (from 0 to 1) of (x^3-6x^2+5x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 5 x ) d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{3}{4}=0,75$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{3}-6x^{2}+5x\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -6x^{2}\mathrm{d}x+\int 5x\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-6\int x^{2}\mathrm{d}x+5\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}-6\int x^{2}\mathrm{d}x+5\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo -6 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-2x^{3}+5\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 5 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-2x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{1^{4}}{4}-2\times 1^{3}+\frac{5}{2}\times 1^{2}-\left(\frac{0^{4}}{4}-2\times 0^{3}+\frac{5}{2}\times 0^{2}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{3}{4}$$