Vyřešit ∫ (from 0 to 1) of (x^2+sinx) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x ^ { 2 } + \sin x ) d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{4-3\cos(1)}{3}\approx 0,793031027$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{2}+\sin(x)\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Chcete-li získat výsledek, použijte \int \sin(x)\mathrm{d}x=-\cos(x) ze seznamu společných integrálů.

$$\frac{x^{3}}{3}-\cos(x)$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{1^{3}}{3}-\cos(1)-\left(\frac{0^{3}}{3}-\cos(0)\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{1}{3}\left(4-3\cos(1)\right)$$