Vyřešit ∫ (from 0 to 1) of (2x+3)*(3x-5) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x + 3 ) \cdot ( 3 x - 5 ) d x$$

Vyhodnotit

$$-\frac{27}{2}=-13,5$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 2x+3 každým členem výrazu 3x-5.

$$\int _{0}^{1}6x^{2}-10x+9x-15\mathrm{d}x$$

Sloučením -10x a 9x získáte -x.

$$\int _{0}^{1}6x^{2}-x-15\mathrm{d}x$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 6x^{2}-x-15\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 6 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}-\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -1 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int -15\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál -15 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}-15x$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$2\times 1^{3}-\frac{1^{2}}{2}-15-\left(2\times 0^{3}-\frac{0^{2}}{2}-15\times 0\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$-\frac{27}{2}$$