Vyřešit ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Vyhodnotit

$$1$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Najděte si integrál 1 pomocí \int a\mathrm{d}v=av tabulky společného integrálového pravidla.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Vzhledem k tomu, že \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int v^{3}\mathrm{d}v \frac{v^{4}}{4}. Vynásobte číslo -8 číslem \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Vzhledem k tomu, že \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int v^{7}\mathrm{d}v \frac{v^{8}}{8}. Vynásobte číslo 16 číslem \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$1$$