Vyřešit ∫ (from 0 to frac { 1) of {2}}sqrt{2x wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { 2 x } d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int \sqrt{2x}\mathrm{d}x$$

Vytkněte konstantu pomocí \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Zapište \sqrt{x} jako: x^{\frac{1}{2}}. Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Proveďte zjednodušení.

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{2}{3}\times 2^{\frac{1}{2}}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{3}{2}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{1}{3}$$