Vyřešit ∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^2 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 2 } d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{1561}{3}\approx 520,333333333$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(4x-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\int _{-2}^{5}16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -24x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 16 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -24 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 9 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+9x$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{16}{3}\times 5^{3}-12\times 5^{2}+9\times 5-\left(\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}-12\left(-2\right)^{2}+9\left(-2\right)\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{1561}{3}$$