Vyřešit ∫ (from - 2 to 2) of (4x^2-x^4) wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 2 } ( 4 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{128}{15}\approx 8,533333333$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 4x^{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -x^{4}\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 4 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}. Vynásobte číslo -1 číslem \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{4}{3}\times 2^{3}-\frac{2^{5}}{5}-\left(\frac{4}{3}\left(-2\right)^{3}-\frac{\left(-2\right)^{5}}{5}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{128}{15}$$