Vyřešit ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Vyhodnotit

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 1-y číslem y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Vzhledem k tomu, že \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int y\mathrm{d}y \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Vzhledem k tomu, že \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int y^{2}\mathrm{d}y \frac{y^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslem \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$-\frac{2}{3}$$