Vyřešit ∫ 5x(3x+6)^3 wrt x=?

$$\int 5 x ( 3 x + 6 ) ^ { 3 } d x = ?$$

Vyhodnotit

$$27x^{5}+\frac{405x^{4}}{2}+540x^{3}+540x^{2}+С$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(3x+6\right)^{3} podle binomické věty \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$\int 5x\left(27x^{3}+162x^{2}+324x+216\right)\mathrm{d}x$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 5x číslem 27x^{3}+162x^{2}+324x+216.

$$\int 135x^{4}+810x^{3}+1620x^{2}+1080x\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 135x^{4}\mathrm{d}x+\int 810x^{3}\mathrm{d}x+\int 1620x^{2}\mathrm{d}x+\int 1080x\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$135\int x^{4}\mathrm{d}x+810\int x^{3}\mathrm{d}x+1620\int x^{2}\mathrm{d}x+1080\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}. Vynásobte číslo 135 číslem \frac{x^{5}}{5}.

$$27x^{5}+810\int x^{3}\mathrm{d}x+1620\int x^{2}\mathrm{d}x+1080\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 810 číslem \frac{x^{4}}{4}.

$$27x^{5}+\frac{405x^{4}}{2}+1620\int x^{2}\mathrm{d}x+1080\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 1620 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$27x^{5}+\frac{405x^{4}}{2}+540x^{3}+1080\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 1080 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$27x^{5}+\frac{405x^{4}}{2}+540x^{3}+540x^{2}$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$540x^{2}+540x^{3}+\frac{405x^{4}}{2}+27x^{5}+С$$

Derivovat vzhledem k x

$$135x\left(x+2\right)^{3}$$