Vyřešit ∫ (x^3+1)^2 wrt x=

$$\int ( x ^ { 3 } + 1 ) ^ { 2 } d x =$$

Vyhodnotit

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{4}}{2}+x+С$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x^{3}+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int \left(x^{3}\right)^{2}+2x^{3}+1\mathrm{d}x$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 3 a 2 získáte 6.

$$\int x^{6}+2x^{3}+1\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{6}\mathrm{d}x \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{x^{7}}{7}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 2 číslem \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{4}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 1 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{4}}{2}+x$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$x+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{7}}{7}+С$$

Derivovat vzhledem k x

$$\left(x^{3}+1\right)^{2}$$