Vyřešit ∫ (3x+5)(7x-2) wrt x

$$\int ( 3 x + 5 ) ( 7 x - 2 ) d x$$

Vyhodnotit

$$7x^{3}+\frac{29x^{2}}{2}-10x+С$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 3x+5 každým členem výrazu 7x-2.

$$\int 21x^{2}-6x+35x-10\mathrm{d}x$$

Sloučením -6x a 35x získáte 29x.

$$\int 21x^{2}+29x-10\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 21x^{2}\mathrm{d}x+\int 29x\mathrm{d}x+\int -10\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$21\int x^{2}\mathrm{d}x+29\int x\mathrm{d}x+\int -10\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 21 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$7x^{3}+29\int x\mathrm{d}x+\int -10\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 29 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$7x^{3}+\frac{29x^{2}}{2}+\int -10\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál -10 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$7x^{3}+\frac{29x^{2}}{2}-10x$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$7x^{3}+\frac{29x^{2}}{2}-10x+С$$

Derivovat vzhledem k x

$$\left(7x-2\right)\left(3x+5\right)$$