Vyřešit ∫ inte^kx

$$\int \int e ^ { k x }$$

Vyhodnotit

$$\left\{\begin{matrix}\frac{e^{kx}}{k^{2}}+Сx+С_{1},&k\neq 0\\Сx+\frac{x^{2}}{2}+С_{1},&k=0\end{matrix}\right,$$

Postup řešení

Proveďte zjednodušení.

$$\left(\frac{e^{kx}}{k}+С_{3}\right)x-\frac{-e^{kx}+kxe^{kx}}{k^{2}}$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x\mathrm{d}x+\int С_{4}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int С_{4}\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál С_{4} pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{x^{2}}{2}+С_{4}x$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$\left\{\begin{matrix}\left(\frac{e^{kx}}{k}+С_{3}\right)x-\frac{-e^{kx}+kxe^{kx}}{k^{2}}+С_{7},&\\\frac{x^{2}}{2}+С_{4}x+С_{7},&\end{matrix}\right,$$

Derivovat vzhledem k x

$$\left\{\begin{matrix}\frac{e^{kx}}{k}+С,&k\neq 0\\x+С,&k=0\end{matrix}\right,$$