Vyřešit ∫ x^5-32/x-2 wrt x

$$\int \frac { x ^ { 5 } - 32 } { x - 2 } d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{4x^{3}}{3}+4x^{2}+16x+С$$

Postup řešení

Rozloží výrazy, které ještě nejsou rozložené v: \frac{x^{5}-32}{x-2}.

$$\int \frac{\left(x-2\right)\left(x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16\right)}{x-2}\mathrm{d}x$$

Vykraťte x-2 v čitateli a jmenovateli.

$$\int x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int 8x\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+2\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 2 číslem \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+4\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 4 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{4x^{3}}{3}+8\int x\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 8 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{4x^{3}}{3}+4x^{2}+\int 16\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 16 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{4x^{3}}{3}+4x^{2}+16x$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{4x^{3}}{3}+4x^{2}+16x+С$$

Derivovat vzhledem k x

$$x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16$$