Vyřešit x-3/x^2-5x+6=2

$$\frac{ x-3 }{ { x }^{ 2 } -5x+6 } = 2$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: 2,3, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou \left(x-3\right)\left(x-2\right).

$$x-3=2\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-3.

$$x-3=\left(2x-6\right)\left(x-2\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x-6 číslem x-2 a slučte stejné členy.

$$x-3=2x^{2}-10x+12$$

Odečtěte 2x^{2} od obou stran.

$$x-3-2x^{2}=-10x+12$$

Přidat 10x na obě strany.

$$x-3-2x^{2}+10x=12$$

Sloučením x a 10x získáte 11x.

$$11x-3-2x^{2}=12$$

Odečtěte 12 od obou stran.

$$11x-3-2x^{2}-12=0$$

Odečtěte 12 od -3 a dostanete -15.

$$11x-15-2x^{2}=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$-2x^{2}+11x-15=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -2x^{2}+ax+bx-15. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=11 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 30 produktu.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Řešením je dvojice se součtem 11.

$$a=6 b=5$$

Zapište -2x^{2}+11x-15 jako: \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Koeficient 2x v prvním a -5 ve druhé skupině.

$$2x\left(-x+3\right)-5\left(-x+3\right)$$

Vytkněte společný člen -x+3 s využitím distributivnosti.

$$\left(-x+3\right)\left(2x-5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte -x+3=0 a 2x-5=0.

$$x=3 x=\frac{5}{2}$$

Proměnná x se nemůže rovnat 3.

$$x=\frac{5}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: 2,3, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou \left(x-3\right)\left(x-2\right).

$$x-3=2\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-3.

$$x-3=\left(2x-6\right)\left(x-2\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x-6 číslem x-2 a slučte stejné členy.

$$x-3=2x^{2}-10x+12$$

Odečtěte 2x^{2} od obou stran.

$$x-3-2x^{2}=-10x+12$$

Přidat 10x na obě strany.

$$x-3-2x^{2}+10x=12$$

Sloučením x a 10x získáte 11x.

$$11x-3-2x^{2}=12$$

Odečtěte 12 od obou stran.

$$11x-3-2x^{2}-12=0$$

Odečtěte 12 od -3 a dostanete -15.

$$11x-15-2x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-2x^{2}+11x-15=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -2 za a, 11 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Umocněte číslo 11 na druhou.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo 8 číslem -15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\left(-2\right)}$$

Přidejte uživatele 121 do skupiny -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\left(-2\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -2.

$$x=\frac{-11±1}{-4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-11±1}{-4}, když ± je plus. Přidejte uživatele -11 do skupiny 1.

$$x=-\frac{10}{-4}$$

Vykraťte zlomek \frac{-10}{-4} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-11±1}{-4}, když ± je minus. Odečtěte číslo 1 od čísla -11.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Vydělte číslo -12 číslem -4.

$$x=3$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{5}{2} x=3$$

Proměnná x se nemůže rovnat 3.

$$x=\frac{5}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: 2,3, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou \left(x-3\right)\left(x-2\right).

$$x-3=2\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-3.

$$x-3=\left(2x-6\right)\left(x-2\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x-6 číslem x-2 a slučte stejné členy.

$$x-3=2x^{2}-10x+12$$

Odečtěte 2x^{2} od obou stran.

$$x-3-2x^{2}=-10x+12$$

Přidat 10x na obě strany.

$$x-3-2x^{2}+10x=12$$

Sloučením x a 10x získáte 11x.

$$11x-3-2x^{2}=12$$

Přidat 3 na obě strany.

$$11x-2x^{2}=12+3$$

Sečtením 12 a 3 získáte 15.

$$11x-2x^{2}=15$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+11x=15$$

Vydělte obě strany hodnotou -2.

$$\frac{-2x^{2}+11x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Dělení číslem -2 ruší násobení číslem -2.

$$x^{2}+\frac{11}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Vydělte číslo 11 číslem -2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Vydělte číslo 15 číslem -2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Vydělte -\frac{11}{2}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{11}{4}. Potom přidejte čtvereček -\frac{11}{4} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{11}{4} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{121}{16}$$

Připočítejte -\frac{15}{2} ke \frac{121}{16} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{1}{16}$$

Činitel x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{1}{4}$$

Připočítejte \frac{11}{4} k oběma stranám rovnice.

$$x=3 x=\frac{5}{2}$$

Proměnná x se nemůže rovnat 3.

$$x=\frac{5}{2}$$