Vyřešit x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Postup použití kvadratické rovnice

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -\frac{1}{2},1, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-1\right)\left(2x+1\right), nejmenším společným násobkem čísel 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Vynásobením x-1 a x-1 získáte \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Vynásobením 2x+1 a 2x+1 získáte \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Rozviňte výraz \left(x-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Rozviňte výraz \left(2x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-1 číslem 2x+1 a slučte stejné členy.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x^{2}-x-1 číslem 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Sloučením 4x^{2} a 6x^{2} získáte 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Sloučením 4x a -3x získáte x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Odečtěte 3 od 1 a dostanete -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Odečtěte 10x^{2} od obou stran.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Sloučením x^{2} a -10x^{2} získáte -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Odečtěte x od obou stran.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Sloučením -2x a -x získáte -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Přidat 2 na obě strany.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Sečtením 1 a 2 získáte 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -9 za a, -3 za b a 3 za c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Umocněte číslo -3 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 36 číslem 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Přidejte uživatele 9 do skupiny 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Opakem -3 je 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, když ± je plus. Přidejte uživatele 3 do skupiny 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Vydělte číslo 3+3\sqrt{13} číslem -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, když ± je minus. Odečtěte číslo 3\sqrt{13} od čísla 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Vydělte číslo 3-3\sqrt{13} číslem -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -\frac{1}{2},1, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-1\right)\left(2x+1\right), nejmenším společným násobkem čísel 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Vynásobením x-1 a x-1 získáte \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Vynásobením 2x+1 a 2x+1 získáte \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Rozviňte výraz \left(x-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Rozviňte výraz \left(2x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-1 číslem 2x+1 a slučte stejné členy.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x^{2}-x-1 číslem 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Sloučením 4x^{2} a 6x^{2} získáte 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Sloučením 4x a -3x získáte x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Odečtěte 3 od 1 a dostanete -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Odečtěte 10x^{2} od obou stran.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Sloučením x^{2} a -10x^{2} získáte -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Odečtěte x od obou stran.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Sloučením -2x a -x získáte -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Odečtěte 1 od -2 a dostanete -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Vydělte obě strany hodnotou -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Dělení číslem -9 ruší násobení číslem -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Vykraťte zlomek \frac{-3}{-9} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Vykraťte zlomek \frac{-3}{-9} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Koeficient (tj. \frac{1}{3}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali \frac{1}{6}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu \frac{1}{6}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{1}{6} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Připočítejte \frac{1}{3} ke \frac{1}{36} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Rozložte rovnici x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{6} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$