Vyřešit frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Vyřešte pro: b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Postup řešení rovnic s odmocninami

Převeďte jmenovatele \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} vynásobením čitatele a jmenovatele 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Zvažte \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Umocněte číslo 2 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{5} na druhou.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Odečtěte 5 od 4 a dostanete -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Vynásobením 2+\sqrt{5} a 2+\sqrt{5} získáte \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{5}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Sečtením 4 a 5 získáte 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Výsledkem vydělení jakékoli hodnoty hodnotou -1 je hodnota opačná. Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 9+4\sqrt{5}, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Převeďte jmenovatele \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} vynásobením čitatele a jmenovatele 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Zvažte \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Umocněte číslo 2 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{5} na druhou.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Odečtěte 5 od 4 a dostanete -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Vynásobením 2-\sqrt{5} a 2-\sqrt{5} získáte \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Rozviňte výraz \left(2-\sqrt{5}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Sečtením 4 a 5 získáte 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Výsledkem vydělení jakékoli hodnoty hodnotou -1 je hodnota opačná. Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 9-4\sqrt{5}, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Odečtěte 9 od -9 a dostanete -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Sloučením -4\sqrt{5} a 4\sqrt{5} získáte 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Odečtěte a od obou stran.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Dělení číslem 5 ruší násobení číslem 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Vyřešte pro: a (complex solution)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

Vyřešte pro: b (complex solution)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

Vyřešte pro: a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$