Vyřešit frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Vyhodnotit

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} vynásobením čitatele a jmenovatele 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Zvažte \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Umocněte číslo 2 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{3} na druhou.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Odečtěte 3 od 4 a dostanete 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Vydělením čísla číslem 1 dostaneme číslo samotné.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Vynásobením 2+\sqrt{3} a 2+\sqrt{3} získáte \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Převeďte jmenovatele \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} vynásobením čitatele a jmenovatele 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Zvažte \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Umocněte číslo 2 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{3} na druhou.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Odečtěte 3 od 4 a dostanete 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Vydělením čísla číslem 1 dostaneme číslo samotné.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Vynásobením 2-\sqrt{3} a 2-\sqrt{3} získáte \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Sečtením 4 a 3 získáte 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2-\sqrt{3}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Sečtením 4 a 3 získáte 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 7-4\sqrt{3}, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Opakem -4\sqrt{3} je 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Odečtěte 7 od 7 a dostanete 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Sloučením 4\sqrt{3} a 4\sqrt{3} získáte 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$