Vyřešit frac{sqrt{2}left(4-sqrt{2}right)}{2left(sqrt{2}+1right)}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } \left( 4- \sqrt{ 2 } \right) }{ 2 \left( \sqrt{ 2 } +1 \right) }$$

Vyhodnotit

$$5-3\sqrt{2}\approx 0,757359313$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo \sqrt{2} číslem 4-\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem \sqrt{2}+1.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2}$$

Převeďte jmenovatele \frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2} vynásobením čitatele a jmenovatele 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}$$

Zvažte \left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Roznásobte \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\times 2-2^{2}}$$

Vynásobením 4 a 2 získáte 8.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-2^{2}}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-4}$$

Odečtěte 4 od 8 a dostanete 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4}$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 4\sqrt{2}-2 každým členem výrazu 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{8\left(\sqrt{2}\right)^{2}-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$\frac{8\times 2-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Vynásobením 8 a 2 získáte 16.

$$\frac{16-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Sloučením -8\sqrt{2} a -4\sqrt{2} získáte -12\sqrt{2}.

$$\frac{16-12\sqrt{2}+4}{4}$$

Sečtením 16 a 4 získáte 20.

$$\frac{20-12\sqrt{2}}{4}$$

Když jednotlivé členy vzorce 20-12\sqrt{2} vydělíte 4, dostanete 5-3\sqrt{2}.

$$5-3\sqrt{2}$$