Vyřešit x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 21, nejmenším společným násobkem čísel 7,3.

$$3x+7y=105$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 14.

$$-x+42y=364$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$3x+7y=105$$

Odečtěte hodnotu 7y od obou stran rovnice.

$$3x=-7y+105$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Dosaďte -\frac{7y}{3}+35 za x ve druhé rovnici, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Vynásobte číslo -1 číslem -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Přidejte uživatele \frac{7y}{3} do skupiny 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Připočítejte 35 k oběma stranám rovnice.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{133}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=9$$

V rovnici x=-\frac{7}{3}y+35 dosaďte y za proměnnou 9. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Vynásobte číslo -\frac{7}{3} číslem 9.

$$x=-21+35$$

Přidejte uživatele 35 do skupiny -21.

$$x=14$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=14,y=9$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 21, nejmenším společným násobkem čísel 7,3.

$$3x+7y=105$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 14.

$$-x+42y=364$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=14,y=9$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 21, nejmenším společným násobkem čísel 7,3.

$$3x+7y=105$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 14.

$$-x+42y=364$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Pokud chcete, aby byly členy 3x a -x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Proveďte zjednodušení.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Odečtěte rovnici -3x+126y=1092 od rovnice -3x-7y=-105 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Přidejte uživatele -3x do skupiny 3x. Členy -3x a 3x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Přidejte uživatele -7y do skupiny -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Přidejte uživatele -105 do skupiny -1092.

$$-133y=-1197$$

Vydělte obě strany hodnotou -133.

$$y=9$$

V rovnici -x+42y=364 dosaďte y za proměnnou 9. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$-x+42\times 9=364$$

Vynásobte číslo 42 číslem 9.

$$-x+378=364$$

Odečtěte hodnotu 378 od obou stran rovnice.

$$-x=-14$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$x=14$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=14,y=9$$