Vyřešit x/2x+1+2x+1/x-1=2

$$\frac { x } { 2 x + 1 } + \frac { 2 x + 1 } { x - 1 } = 2$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}\approx -0,697224362$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}\approx -4,302775638$$

Postup použití kvadratické rovnice

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -\frac{1}{2},1, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-1\right)\left(2x+1\right), nejmenším společným násobkem čísel 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Vynásobením 2x+1 a 2x+1 získáte \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-1 číslem x.

$$x^{2}-x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Rozviňte výraz \left(2x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-x+4x^{2}+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Sloučením x^{2} a 4x^{2} získáte 5x^{2}.

$$5x^{2}-x+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Sloučením -x a 4x získáte 3x.

$$5x^{2}+3x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-1.

$$5x^{2}+3x+1=\left(2x-2\right)\left(2x+1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x-2 číslem 2x+1 a slučte stejné členy.

$$5x^{2}+3x+1=4x^{2}-2x-2$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$5x^{2}+3x+1-4x^{2}=-2x-2$$

Sloučením 5x^{2} a -4x^{2} získáte x^{2}.

$$x^{2}+3x+1=-2x-2$$

Přidat 2x na obě strany.

$$x^{2}+3x+1+2x=-2$$

Sloučením 3x a 2x získáte 5x.

$$x^{2}+5x+1=-2$$

Přidat 2 na obě strany.

$$x^{2}+5x+1+2=0$$

Sečtením 1 a 2 získáte 3.

$$x^{2}+5x+3=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, 5 za b a 3 za c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3}}{2}$$

Umocněte číslo 5 na druhou.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2}$$

Přidejte uživatele 25 do skupiny -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -5 do skupiny \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{13} od čísla -5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -\frac{1}{2},1, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-1\right)\left(2x+1\right), nejmenším společným násobkem čísel 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Vynásobením 2x+1 a 2x+1 získáte \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-1 číslem x.

$$x^{2}-x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Rozviňte výraz \left(2x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-x+4x^{2}+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Sloučením x^{2} a 4x^{2} získáte 5x^{2}.

$$5x^{2}-x+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Sloučením -x a 4x získáte 3x.

$$5x^{2}+3x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-1.

$$5x^{2}+3x+1=\left(2x-2\right)\left(2x+1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x-2 číslem 2x+1 a slučte stejné členy.

$$5x^{2}+3x+1=4x^{2}-2x-2$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$5x^{2}+3x+1-4x^{2}=-2x-2$$

Sloučením 5x^{2} a -4x^{2} získáte x^{2}.

$$x^{2}+3x+1=-2x-2$$

Přidat 2x na obě strany.

$$x^{2}+3x+1+2x=-2$$

Sloučením 3x a 2x získáte 5x.

$$x^{2}+5x+1=-2$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$x^{2}+5x=-2-1$$

Odečtěte 1 od -2 a dostanete -3.

$$x^{2}+5x=-3$$

Vydělte 5, koeficient x termínu 2 k získání \frac{5}{2}. Potom přidejte čtvereček \frac{5}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{5}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$$

Přidejte uživatele -3 do skupiny \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$$

Činitel x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Odečtěte hodnotu \frac{5}{2} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$