Vyřešit x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Vyřešte pro: x

$$x=3$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -9,0, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem x\left(x+9\right), nejmenším společným násobkem čísel x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x+9 a x+9 získáte \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Rozviňte výraz \left(x+9\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x a x získáte x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Sloučením x^{2} a x^{2}\times 16 získáte 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 8x číslem x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Odečtěte 8x^{2} od obou stran.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Sloučením 17x^{2} a -8x^{2} získáte 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Odečtěte 72x od obou stran.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Sloučením 18x a -72x získáte -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako x^{2}+ax+bx+9. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 9 produktu.

$$-1,-9 -3,-3$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Řešením je dvojice se součtem -6.

$$a=-3 b=-3$$

Zapište x^{2}-6x+9 jako: \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Koeficient x v prvním a -3 ve druhé skupině.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Vytkněte společný člen x-3 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Jestliže chcete najít řešení rovnice, vyřešte x-3=0.

$$x=3$$

Postup použití kvadratické rovnice

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -9,0, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem x\left(x+9\right), nejmenším společným násobkem čísel x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x+9 a x+9 získáte \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Rozviňte výraz \left(x+9\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x a x získáte x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Sloučením x^{2} a x^{2}\times 16 získáte 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 8x číslem x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Odečtěte 8x^{2} od obou stran.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Sloučením 17x^{2} a -8x^{2} získáte 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Odečtěte 72x od obou stran.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Sloučením 18x a -72x získáte -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 9 za a, -54 za b a 81 za c.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Umocněte číslo -54 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslem 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Přidejte uživatele 2916 do skupiny -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Opakem -54 je 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Vydělte číslo 54 číslem 18.

$$x=3$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -9,0, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem x\left(x+9\right), nejmenším společným násobkem čísel x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x+9 a x+9 získáte \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Rozviňte výraz \left(x+9\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x a x získáte x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Sloučením x^{2} a x^{2}\times 16 získáte 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 8x číslem x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Odečtěte 8x^{2} od obou stran.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Sloučením 17x^{2} a -8x^{2} získáte 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Odečtěte 72x od obou stran.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Sloučením 18x a -72x získáte -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Odečtěte 81 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Dělení číslem 9 ruší násobení číslem 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Vydělte číslo -54 číslem 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Vydělte číslo -81 číslem 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Vydělte -6, koeficient x termínu 2 k získání -3. Potom přidejte čtvereček -3 na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Umocněte číslo -3 na druhou.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Přidejte uživatele -9 do skupiny 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Činitel x^{2}-6x+9. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-3=0 x-3=0$$

Připočítejte 3 k oběma stranám rovnice.

$$x=3 x=3$$

Rovnice je teď vyřešená. Řešení jsou stejná.

$$x=3$$