Vyřešit f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Vyřešte pro: f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 33, nejmenším společným násobkem čísel 11,33.

$$3f=g$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Dosaďte \frac{g}{3} za f ve druhé rovnici, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Přidejte uživatele \frac{g}{3} do skupiny g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{4}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$g=30$$

V rovnici f=\frac{1}{3}g dosaďte g za proměnnou 30. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné f vypočítat přímo.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem 30.

$$f=10$$

Systém je teď vyřešený.

$$f=10,g=30$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 33, nejmenším společným násobkem čísel 11,33.

$$3f=g$$

Odečtěte g od obou stran.

$$3f-g=0$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice f a g.

$$f=10,g=30$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 33, nejmenším společným násobkem čísel 11,33.

$$3f=g$$

Odečtěte g od obou stran.

$$3f-g=0$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Pokud chcete, aby byly členy 3f a f stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Proveďte zjednodušení.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Odečtěte rovnici 3f+3g=120 od rovnice 3f-g=0 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Přidejte uživatele 3f do skupiny -3f. Členy 3f a -3f se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-g-3g=-120$$

Přidejte uživatele -g do skupiny -3g.

$$-4g=-120$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$g=30$$

V rovnici f+g=40 dosaďte g za proměnnou 30. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné f vypočítat přímo.

$$f+30=40$$

Odečtěte hodnotu 30 od obou stran rovnice.

$$f=10$$

Systém je teď vyřešený.

$$f=10,g=30$$