Vyřešit frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Vyhodnotit

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Postup řešení

Rozložte 27=3^{2}\times 3 na součin. Přepište druhou odmocninu součinu \sqrt{3^{2}\times 3} jako součin druhých odmocnin \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Vypočítejte druhou odmocninu čísla 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Převeďte jmenovatele \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} na racionální číslo tak, že vynásobíte čitatele a jmenovatele hodnotou 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Zvažte \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Umocněte číslo 4 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{3} na druhou.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Odečtěte 3 od 16 a dostanete 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 6+3\sqrt{3} každým členem výrazu 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Sloučením 6\sqrt{3} a 12\sqrt{3} získáte 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Vynásobením 3 a 3 získáte 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Sečtením 24 a 9 získáte 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$