Vyřešit frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

Vyhodnotit

$$\frac{32}{9}\approx 3,555555556$$

Stručný postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} vynásobením čitatele a jmenovatele 5-\sqrt{7}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Zvažte \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Umocněte číslo 5 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{7} na druhou.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Odečtěte 7 od 25 a dostanete 18.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Vynásobením 5-\sqrt{7} a 5-\sqrt{7} získáte \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Rozviňte výraz \left(5-\sqrt{7}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{7} je 7.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Sečtením 25 a 7 získáte 32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Převeďte jmenovatele \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} vynásobením čitatele a jmenovatele 5+\sqrt{7}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

Zvažte \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

Umocněte číslo 5 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{7} na druhou.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

Odečtěte 7 od 25 a dostanete 18.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

Vynásobením 5+\sqrt{7} a 5+\sqrt{7} získáte \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Rozviňte výraz \left(5+\sqrt{7}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{7} je 7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

Sečtením 25 a 7 získáte 32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

Vzhledem k tomu, že \frac{32-10\sqrt{7}}{18} a \frac{32+10\sqrt{7}}{18} mají stejného jmenovatele, můžete je sečíst sečtením jejich čitatelů.

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

Proveďte výpočty ve výrazu 32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}.

$$\frac{64}{18}$$

Vykraťte zlomek \frac{64}{18} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$\frac{32}{9}$$

Rozložit

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3,5555555555555554$$