Vyřešit 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 2.

$$3x+2y=22$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 2.

$$2x+y=14$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$3x+2y=22$$

Odečtěte hodnotu 2y od obou stran rovnice.

$$3x=-2y+22$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Dosaďte \frac{-2y+22}{3} za x ve druhé rovnici, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Vynásobte číslo 2 číslem \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Přidejte uživatele -\frac{4y}{3} do skupiny y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Odečtěte hodnotu \frac{44}{3} od obou stran rovnice.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Vynásobte obě strany hodnotou -3.

$$y=2$$

V rovnici x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3} dosaďte y za proměnnou 2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Vynásobte číslo -\frac{2}{3} číslem 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Připočítejte \frac{22}{3} ke -\frac{4}{3} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=6$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=6,y=2$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 2.

$$3x+2y=22$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 2.

$$2x+y=14$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=6,y=2$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 2.

$$3x+2y=22$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 2.

$$2x+y=14$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Pokud chcete, aby byly členy 3x a 2x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 2 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Proveďte zjednodušení.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Odečtěte rovnici 6x+3y=42 od rovnice 6x+4y=44 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Přidejte uživatele 6x do skupiny -6x. Členy 6x a -6x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$4y-3y=44-42$$

Přidejte uživatele 4y do skupiny -3y.

$$y=44-42$$

Přidejte uživatele 44 do skupiny -42.

$$y=2$$

V rovnici 2x+y=14 dosaďte y za proměnnou 2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$2x+2=14$$

Odečtěte hodnotu 2 od obou stran rovnice.

$$2x=12$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=6$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=6,y=2$$