Vyřešit 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -2,-1,1,2, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), nejmenším společným násobkem čísel x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x+2 číslem x+1 a slučte stejné členy.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}+3x+2 číslem 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-2 číslem x-1 a slučte stejné členy.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sloučením 2x^{2} a x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sloučením 6x a -3x získáte 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sečtením 4 a 2 získáte 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}-1 číslem 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Sloučením 3x^{2} a -4x^{2} získáte -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Přidat 4 na obě strany.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Sečtením 6 a 4 získáte 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -x^{2}+ax+bx+10. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -10 produktu.

$$-1,10 -2,5$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Řešením je dvojice se součtem 3.

$$a=5 b=-2$$

Zapište -x^{2}+3x+10 jako: \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Koeficient -x v prvním a -2 ve druhé skupině.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Vytkněte společný člen x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-5=0 a -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

Proměnná x se nemůže rovnat -2.

$$x=5$$

Postup použití kvadratické rovnice

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -2,-1,1,2, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), nejmenším společným násobkem čísel x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x+2 číslem x+1 a slučte stejné členy.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}+3x+2 číslem 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-2 číslem x-1 a slučte stejné členy.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sloučením 2x^{2} a x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sloučením 6x a -3x získáte 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sečtením 4 a 2 získáte 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}-1 číslem 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Sloučením 3x^{2} a -4x^{2} získáte -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Přidat 4 na obě strany.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Sečtením 6 a 4 získáte 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, 3 za b a 10 za c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte číslo 3 na druhou.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslem 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Přidejte uživatele 9 do skupiny 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-3±7}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -3 do skupiny 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Vydělte číslo 4 číslem -2.

$$x=-2$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-3±7}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 7 od čísla -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Vydělte číslo -10 číslem -2.

$$x=5$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=-2 x=5$$

Proměnná x se nemůže rovnat -2.

$$x=5$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -2,-1,1,2, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), nejmenším společným násobkem čísel x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x+2 číslem x+1 a slučte stejné členy.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}+3x+2 číslem 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-2 číslem x-1 a slučte stejné členy.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sloučením 2x^{2} a x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sloučením 6x a -3x získáte 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Sečtením 4 a 2 získáte 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}-1 číslem 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Sloučením 3x^{2} a -4x^{2} získáte -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Odečtěte 6 od obou stran.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

Odečtěte 6 od -4 a dostanete -10.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

Dělení číslem -1 ruší násobení číslem -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Vydělte číslo 3 číslem -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Vydělte číslo -10 číslem -1.

$$x^{2}-3x=10$$

Vydělte -3, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{3}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{3}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{3}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Přidejte uživatele 10 do skupiny \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Činitel x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Připočítejte \frac{3}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=5 x=-2$$

Proměnná x se nemůže rovnat -2.

$$x=5$$