Vyřešit 2/sqrt{2-2}+frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}-frac{sqrt{32}}{2}

$$\frac { 2 } { \sqrt { 2 } - 2 } + \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } - \frac { \sqrt { 32 } } { 2 }$$

Vyhodnotit

$$1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{2}{\sqrt{2}-2} vynásobením čitatele a jmenovatele \sqrt{2}+2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Zvažte \left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Umocněte číslo \sqrt{2} na druhou. Umocněte číslo 2 na druhou.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{2-4}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Odečtěte 4 od 2 a dostanete -2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{-2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Vykraťte -2 a -2.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Převeďte jmenovatele \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} vynásobením čitatele a jmenovatele \sqrt{2}+1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Zvažte \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Umocněte číslo \sqrt{2} na druhou. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Odečtěte 1 od 2 a dostanete 1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Vydělením čísla číslem 1 dostaneme číslo samotné.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Vynásobením \sqrt{2}+1 a \sqrt{2}+1 získáte \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Rozložte 32=4^{2}\times 2 na součin. Odpište druhou odmocninu produktu \sqrt{4^{2}\times 2} jako součin čtvercových kořenových složek \sqrt{4^{2}}\sqrt{2}. Vypočítejte druhou odmocninu čísla 4^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

Vydělte číslo 4\sqrt{2} číslem 2 a dostanete 2\sqrt{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k \sqrt{2}+2, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{2}+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$-\sqrt{2}-2+2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Sečtením 2 a 1 získáte 3.

$$-\sqrt{2}-2+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

Sečtením -2 a 3 získáte 1.

$$-\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

Sloučením -\sqrt{2} a 2\sqrt{2} získáte \sqrt{2}.

$$\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Sloučením \sqrt{2} a -2\sqrt{2} získáte -\sqrt{2}.

$$-\sqrt{2}+1$$

Rozložit

$$1-\sqrt{2}$$