Vyřešit frac{2sqrt{5}+5}{2sqrt{5}-5}

$$\frac { 2 \sqrt { 5 } + 5 } { 2 \sqrt { 5 } - 5 }$$

Vyhodnotit

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{2\sqrt{5}+5}{2\sqrt{5}-5} vynásobením čitatele a jmenovatele 2\sqrt{5}+5.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}{\left(2\sqrt{5}-5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}$$

Zvažte \left(2\sqrt{5}-5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Vynásobením 2\sqrt{5}+5 a 2\sqrt{5}+5 získáte \left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Rozviňte výraz \left(2\sqrt{5}+5\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$\frac{4\times 5+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Vynásobením 4 a 5 získáte 20.

$$\frac{20+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Sečtením 20 a 25 získáte 45.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Roznásobte \left(2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{4\times 5-5^{2}}$$

Vynásobením 4 a 5 získáte 20.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{20-5^{2}}$$

Výpočtem 5 na 2 získáte 25.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{20-25}$$

Odečtěte 25 od 20 a dostanete -5.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{-5}$$

Když jednotlivé členy vzorce 45+20\sqrt{5} vydělíte -5, dostanete -9-4\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}$$

Rozložit

$$-\left(4\sqrt{5}+9\right)$$