Vyřešit frac{2sqrt{3}+1}{(sqrt{3}+1)^2+1}

$$\frac { 2 \sqrt { 3 } + 1 } { ( \sqrt { 3 } + 1 ) ^ { 2 } + 1 }$$

Vyhodnotit

$$\frac{8\sqrt{3}-7}{13}\approx 0,527415882$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(\sqrt{3}+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{2\sqrt{3}+1}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1+1}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$\frac{2\sqrt{3}+1}{3+2\sqrt{3}+1+1}$$

Sečtením 3 a 1 získáte 4.

$$\frac{2\sqrt{3}+1}{4+2\sqrt{3}+1}$$

Sečtením 4 a 1 získáte 5.

$$\frac{2\sqrt{3}+1}{5+2\sqrt{3}}$$

Převeďte jmenovatele \frac{2\sqrt{3}+1}{5+2\sqrt{3}} vynásobením čitatele a jmenovatele 5-2\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}$$

Zvažte \left(5+2\sqrt{3}\right)\left(5-2\sqrt{3}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}{5^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Výpočtem 5 na 2 získáte 25.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}{25-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Roznásobte \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}{25-2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}{25-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}{25-4\times 3}$$

Vynásobením 4 a 3 získáte 12.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}{25-12}$$

Odečtěte 12 od 25 a dostanete 13.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}{13}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2\sqrt{3}+1 číslem 5-2\sqrt{3} a slučte stejné členy.

$$\frac{8\sqrt{3}-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}+5}{13}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$\frac{8\sqrt{3}-4\times 3+5}{13}$$

Vynásobením -4 a 3 získáte -12.

$$\frac{8\sqrt{3}-12+5}{13}$$

Sečtením -12 a 5 získáte -7.

$$\frac{8\sqrt{3}-7}{13}$$