Vyřešit 2+3i/5+4i

$$\frac { 2 + 3 i } { 5 + 4 i }$$

Vyhodnotit

$$\frac{22}{41}+\frac{7}{41}i\approx 0,536585366+0,170731707i$$

Postup řešení

Čitatele i jmenovatele vynásobte komplexně sdruženým číslem jmenovatele, 5-4i.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5-4i\right)}{\left(5+4i\right)\left(5-4i\right)}$$

Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5-4i\right)}{5^{2}-4^{2}i^{2}}$$

i^{2} je podle definice -1. Vypočítejte jmenovatele.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5-4i\right)}{41}$$

Komplexní čísla 2+3i a 5-4i vynásobte podobně, jako násobíte dvojčleny.

$$\frac{2\times 5+2\times \left(-4i\right)+3i\times 5+3\left(-4\right)i^{2}}{41}$$

i^{2} je podle definice -1.

$$\frac{2\times 5+2\times \left(-4i\right)+3i\times 5+3\left(-4\right)\left(-1\right)}{41}$$

Proveďte násobení ve výrazu 2\times 5+2\times \left(-4i\right)+3i\times 5+3\left(-4\right)\left(-1\right).

$$\frac{10-8i+15i+12}{41}$$

Zkombinujte reálné a imaginární části v 10-8i+15i+12.

$$\frac{10+12+\left(-8+15\right)i}{41}$$

Proveďte součty ve výrazu 10+12+\left(-8+15\right)i.

$$\frac{22+7i}{41}$$

Vydělte číslo 22+7i číslem 41 a dostanete \frac{22}{41}+\frac{7}{41}i.

$$\frac{22}{41}+\frac{7}{41}i$$

Reálná část

$$\frac{22}{41} = 0,5365853658536586$$

Postup řešení

Čitatele i jmenovatele (\frac{2+3i}{5+4i}) vynásobte komplexně sdruženým číslem jmenovatele (5-4i).

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5-4i\right)}{\left(5+4i\right)\left(5-4i\right)})$$

Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5-4i\right)}{5^{2}-4^{2}i^{2}})$$

i^{2} je podle definice -1. Vypočítejte jmenovatele.

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5-4i\right)}{41})$$

Komplexní čísla 2+3i a 5-4i vynásobte podobně, jako násobíte dvojčleny.

$$Re(\frac{2\times 5+2\times \left(-4i\right)+3i\times 5+3\left(-4\right)i^{2}}{41})$$

i^{2} je podle definice -1.

$$Re(\frac{2\times 5+2\times \left(-4i\right)+3i\times 5+3\left(-4\right)\left(-1\right)}{41})$$

Proveďte násobení ve výrazu 2\times 5+2\times \left(-4i\right)+3i\times 5+3\left(-4\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{10-8i+15i+12}{41})$$

Zkombinujte reálné a imaginární části v 10-8i+15i+12.

$$Re(\frac{10+12+\left(-8+15\right)i}{41})$$

Proveďte součty ve výrazu 10+12+\left(-8+15\right)i.

$$Re(\frac{22+7i}{41})$$

Vydělte číslo 22+7i číslem 41 a dostanete \frac{22}{41}+\frac{7}{41}i.

$$Re(\frac{22}{41}+\frac{7}{41}i)$$

Reálná část čísla \frac{22}{41}+\frac{7}{41}i je \frac{22}{41}.

$$\frac{22}{41}$$