Vyřešit frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Vyhodnotit

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} vynásobením čitatele a jmenovatele 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Zvažte \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Umocněte číslo 2 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{5} na druhou.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Odečtěte 5 od 4 a dostanete -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Vynásobením 2+\sqrt{5} a 2+\sqrt{5} získáte \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{5}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Sečtením 4 a 5 získáte 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Výsledkem vydělení jakékoli hodnoty hodnotou -1 je hodnota opačná. Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 9+4\sqrt{5}, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$-9-4\sqrt{5}$$