Vyřešit frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Vyřešte pro: b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Postup řešení lineární rovnice

Převeďte jmenovatele \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} vynásobením čitatele a jmenovatele 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Zvažte \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Umocněte číslo 2 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{3} na druhou.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Odečtěte 3 od 4 a dostanete 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Vydělením čísla číslem 1 dostaneme číslo samotné.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Vynásobením 2+\sqrt{3} a 2+\sqrt{3} získáte \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Sečtením 4 a 3 získáte 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Odečtěte a od obou stran.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Rovnice je ve standardním tvaru.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Vydělte obě strany hodnotou \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Dělení číslem \sqrt{3} ruší násobení číslem \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Vydělte číslo 4\sqrt{3}-a+7 číslem \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Vyřešte pro: a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$