Vyřešit frac{2+sqrt{2}}{3+sqrt{2}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 3 + \sqrt { 2 } }$$

Vyhodnotit

$$\frac{\sqrt{2}+4}{7}\approx 0,77345908$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{2+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} vynásobením čitatele a jmenovatele 3-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}$$

Zvažte \left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Umocněte číslo 3 na druhou. Umocněte číslo \sqrt{2} na druhou.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{9-2}$$

Odečtěte 2 od 9 a dostanete 7.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{7}$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 2+\sqrt{2} každým členem výrazu 3-\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

Sloučením -2\sqrt{2} a 3\sqrt{2} získáte \sqrt{2}.

$$\frac{6+\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$\frac{6+\sqrt{2}-2}{7}$$

Odečtěte 2 od 6 a dostanete 4.

$$\frac{4+\sqrt{2}}{7}$$

Rozložit

$$\frac{\sqrt{2} + 4}{7} = 0,7734590803390136$$