Vyřešit 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=-1$$

Postup řešení

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -8,-5,-2,1, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), nejmenším společným násobkem čísel x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 21 číslem x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 21x+105 číslem x+8 a slučte stejné členy.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 21 číslem x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 21x-21 číslem x+8 a slučte stejné členy.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sloučením 21x^{2} a 21x^{2} získáte 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sloučením 273x a 147x získáte 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Odečtěte 168 od 840 a dostanete 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 21 číslem x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 21x+42 číslem x-1 a slučte stejné členy.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sloučením 42x^{2} a 21x^{2} získáte 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sloučením 420x a 21x získáte 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Odečtěte 42 od 672 a dostanete 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 7 číslem x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 7x+14 číslem x+5 a slučte stejné členy.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 7x^{2}+49x+70 číslem x+8 a slučte stejné členy.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Vynásobením 21 a -\frac{1}{21} získáte -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -1 číslem x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -x+1 číslem x+2 a slučte stejné členy.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -x^{2}-x+2 číslem x+5 a slučte stejné členy.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -x^{3}-6x^{2}-3x+10 číslem x+8 a slučte stejné členy.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Sloučením 7x^{3} a -14x^{3} získáte -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Sloučením 105x^{2} a -51x^{2} získáte 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Sloučením 462x a -14x získáte 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Sečtením 560 a 80 získáte 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Přidat 7x^{3} na obě strany.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Odečtěte 54x^{2} od obou stran.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Sloučením 63x^{2} a -54x^{2} získáte 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Odečtěte 448x od obou stran.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Sloučením 441x a -448x získáte -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Odečtěte 640 od obou stran.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Odečtěte 640 od 630 a dostanete -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Přidat x^{4} na obě strany.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Změňte uspořádání rovnice do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -10 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±10,±5,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=1$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 číslem x-1 a dostanete x^{3}+8x^{2}+17x+10. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 10 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±10,±5,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-1$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}+8x^{2}+17x+10 číslem x+1 a dostanete x^{2}+7x+10. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 7 a c hodnotou 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x^{2}+7x+10=0 rovnice.

$$x=-5 x=-2$$

Odeberte hodnoty, kterým se nemůže proměnná rovnat.

$$x=-1$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: 1,-5,-2.

$$x=-1$$